Nació el 8 de julio de 1904 en Nancy, Francia. Es hijo del también matemático Elie Cartan (1869-1951) y de Marie-Louise Bianconi. En 1909 su familia se traslada a París, donde Elie Cartan enseña en la Sorbone. Es justo recordar que Elie Cartan hizo importantes contribuciones al desarrollo de la teoría de grupos de Lie y a la geometría diferencial moderna. Aunque su hijo trabajó en temas más variados, llegó a colaborar con él en algunos problemas que cristalizaron en un artículo publicado en 1931, pero Henri dice, en una interesantísima entrevista concedida en 1999 (Henri tenía entonces 95 años), lo siguiente: “Normalmente mi padre trabajaba en sus problemas y yo en los míos”

Henri Cartan estudió en L’École Normale Supérieure y de doctoró en Sciences Mathématiques en 1928, bajo la dirección de Paul Montel con la tesis titulada Sur les systèmes de fonctions holomorphes a variétés linéaires lacunaires et leurs applications.

En aquellos años coincidieron en L’École Normale Supérieure, un grupo de excelentes jóvenes matemáticos: André Weil, Jean Diedonné, Claude Chevalley, Jean Leray, que unos años más tarde tuvieron la fructífera idea de dar vida a Nicolás Bourbaki. Según André Weil, el germen fue una conversación que mantuvo en 1934 con Henri Cartan. Una biografía de cualquiera de estos matemáticos estaría incompleta si no se incluye la de este matemático imaginario de nombre ruso y apellido griego y nacionalidad francesa.

Nicolás Bourbakies el nombre con el que firma su enciclopédica obra un grupo de matemáticos, que fue variando de composición (más o menos secreta), pero que siempre se mantuvieron fieles a la idea de escribir con rigor, siguiendo el método axiomático. Escribieron los universalmente famosos textos Elementos de matemáticas. Su trabajo se desarrolló desde 1935 hasta los años 60. Su influencia en la matemática de la segunda mitad del siglo XX es muy importante. Todavía funciona hoy en día en París el Seminario Bourbaki como foro de participación de investigadores.

Además de su decisiva participación en Bourbaki, Henri Cartan contribuyó al desarrollo de nuevas ramas de las matemáticas. Es de destacar el libro escrito en colaboración con Samuel Eilenberg Homological álgebra (1956), que es todavía texto clásico de obligado estudio para los matemáticos interesados en Álgebra y Topología. Su última reedición data de 1999, 43 años después de su primera publicación.

Tuvo nueve discípulos directos a los que dirigió su tesis doctoral, entre los que se encuentran matemáticos tan importantes como; Roger Godement (Teoría de haces), Jean-Pierre Serre, René Thom (Teoría de Catástrofes) y Max Karoubi (Teoría K).

Fue profesor de la Facultad de Ciencias de Estrasburgo (1936-1940). Desde 1940 y hasta su jubilación en 1975 enseñó en París (Sorbonne 1940-1969, Orsay 1970-1975). Destaca la creación del llamado Seminario Cartan en L’École Normale Supérieure, donde participaba Henri Cartan, sus discípulos y todos los jóvenes matemáticos de la época que se formaron en la escuela francesa, y cuya influencia perdurará porque Cartan se encargó de redactar personalmente parte de sus contenidos (exposés) y de que otros redactaran el resto, de manera que disponemos del trabajo realizado durante su direcciónentre 1948 y 1964.

Cartan trabajó en funciones analíticas de una y varias variables complejas, teoría de haces, homología, topología algebraica, teoría del potencial... Su trabajo en todas estas áreas supuso un significativo avance.

En lugar de citar las referencias de cada uno de sus artículos, el lector interesado puede encontrar sus aportaciones en una obra que recoge un conjunto de trabajos matemáticos de Henri Cartan y que publicó en 1979 la editorial Springer Verlag (Berlin, Heidelberg, New York) con el título Œuvres, Collected Works (3 volúmenes).

Fue conferenciante plenario en los Congresos Internacionales de Matemáticas de Cambridge, USA (1950) y Edinburgh (1958).

Estos breves datos dibujan el perfil de un destacado matemático. Pero además Henri Cartan ocupó durante su vida profesional importantes cargos de gestión en tiempos difíciles. Fue miembro desde 1954 del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional, del que fue presidente desde 1966 hasta 1970.

Tras el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Vancouver en 1974, al que algunos matemáticos rusos no pudieron asistir, tomó parte en la organización del Comité des Mathématicians para defensa de los derechos humanos, en particular en defensa de los matemáticos injustamente privados de libertad. Su defensa continúa en el Comité de Défense des Hommes de Science (CODHOS) dentro de la Academia Francesa de las Ciencias del Instituto Francés, a la que pertenece desde como correspondiente desde el 5 de abril de 1965, y como miembro desde el 28 de enero de 1974.

Defensor también de la idea de una Europa federal, ha sido presidente del Movimiento Federalista Europeo de 1974 a 1985.

Durante los años críticos de la segunda guerra mundial, Henri Cartan mantuvo una relación de colaboración y amistad con el matemático alemán Heinrich Benhke, y con su generosidad personal, contribuyó al renacimiento de las matemáticas alemanas. En 1994 fue nombrado Miembro Honorario de la Sociedad Matemática Alemana (DMV).

Tiene numerosos reconocimientos a su meritoria labor científica y humana, entre los que cabe destacar la Medalla de Oro del Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) en 1976, y ha sido uno de los primeros ganadores del prestigioso premio internacional Wolf de matemáticas en 1980.

En 2004 se le rindió un homenaje en la conmemoración del centenario de su nacimiento ofrecido conjuntamente por la Academia de Ciencias Francesa y la Unión Internacional de Matemáticas.

Falleció el 13 de agosto del año 2008 a la edad de 104 años.